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K
04. 微积分与曲率
曲率
弧微分公式(仍然是化曲为直思想,化曲为直的误差为o(x^1))
弧微分公式
:
d
s
=
1
+
y
′
2
d
x
ds=\sqrt{1+y'~^2}dx
d
s
=
1
+
y
′
2
d
x
曲率公式(有点难记)
曲率公式
:
K
ˉ
=
∣
Δ
α
Δ
s
∣
K
=
∣
d
α
d
s
∣
=
∣
y
′
′
∣
1
+
y
′
2
3
/
2
→
当
∣
y
′
∣
<
<
1
时
K
∼
∣
y
′
′
∣
K
圆
=
∣
d
α
d
s
∣
=
1
α
\bar{K}=|\frac{\Delta\alpha}{\Delta s}|\\ K=|\frac{d\alpha}{ds}|=\frac{|y''|}{\sqrt{1+y'^2}^{3/2}}\xrightarrow {当|y'|<<1时}K\sim |y''|\\ K_圆=|\frac{d\alpha}{ds}|=\frac1\alpha
K
ˉ
=
∣
Δ
s
Δ
α
∣
K
=
∣
d
s
d
α
∣
=
1
+
y
′2
3/2
∣
y
′′
∣
当
∣
y
′
∣
<<
1
时
K
∼
∣
y
′′
∣
K
圆
=
∣
d
s
d
α
∣
=
α
1
曲率中心公式(有点难记)
曲率中心的计算公式
(直接求也行)
{
α
=
x
−
y
′
(
1
+
y
′
2
)
y
′
′
β
=
y
+
1
+
y
′
2
y
′
′
\left\{\begin{aligned} & \alpha=x-\frac{y'(1+y'~^2)}{y''}\\ & \beta=y+\frac{1+y'~^2}{y''} \end{aligned}\right.
⎩
⎨
⎧
α
=
x
−
y
′′
y
′
(
1
+
y
′
2
)
β
=
y
+
y
′′
1
+
y
′
2
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